La regularidad del caos

(Esta anotación se publica simultáneamente en Naukas)

Supongamos que queremos diseñar un experimento para medir la aceleración de la gravedad. Disponemos de unas herramientas matemáticas —las ecuaciones del movimiento— que describen cómo se mueve un cuerpo en función de diversos parámetros, entre ellos, la aceleración a la que está sometido. Disponemos también de unas herramientas experimentales para diseñar el dispositivo de experimentación y medida, cuyo propósito será tomar datos con los que alimentar nuestras ecuaciones y obtener la incógnita buscada.

Muy probablemente, dicho experimento consistirá en dejar caer uno o varios objetos desde diversas alturas tabuladas y medir los tiempos de caída. Estaremos de acuerdo en que, dada una altura, un objeto tardará en caer cierto tiempo, siempre el mismo. No obstante, creo que nadie se sorprenderá a estas alturas si digo que generalmente no hay dos medidas que salgan iguales. La razón es que en la vida real tenemos que lidiar con el error. En la realidad, nada dura cinco segundos, sino cinco más/menos algo que hay que cuantificar. La realidad es caótica y el control de las condiciones experimentales para reducir y al mismo tiempo cuantificar ese algo, ese error, es una de las tareas más arduas que existen. Cualquiera que haya pisado un laboratorio lo entenderá, máxime si trabaja con cosas muy pequeñas o cosas vivas.

Pero volvamos a nuestro experimento. Tenemos que tener claro desde el principio que toda medida que realicemos va a tener un error asociado que categorizamos en dos tipos: error sistemático y error aleatorio. El error sistemático determina lo que denominamos exactitud, ya que afecta a todas las medidas de la misma forma. En nuestro ejemplo, podría haber diversas fuentes de error sistemático como, por ejemplo, errores de calibración en los instrumentos de medida que hicieran que midamos siempre alturas más cortas o más largas, o tiempos más cortos o más largos. Idealmente, un análisis pormenorizado dará con todas las fuentes de error sistemático y las eliminará, pero, en último término, tiene la ventaja de que se puede identificar y medir a posteriori para eliminarlo de un plumazo de todos los datos ya recogidos. Por ejemplo, nos damos cuenta de que el cronómetro estaba tardando un segundo en pararse desde que le dábamos al botón; entonces, basta con restar un segundo a todas las medidas.

El error aleatorio, por su parte, afecta a la precisión y, en principio, parece mucho más escurridizo. Tiene que ver con desviaciones aleatorias que se producen alrededor de cierto valor que es el que queremos determinar, ese tiempo ideal que nuestra teoría muestra que tarda cualquier objeto en caer desde tantos metros de altura. Por ejemplo, más o menos se ve que el objeto cae en cinco segundos desde cierta altura, pero a veces medimos cinco y un poquito y otras, cinco menos un poquito. La solución que se suele adoptar es realizar muchas medidas en una misma configuración (misma altura, mismo objeto) y hacer la media de todas. Pero ¿por qué la media? ¿Es esto correcto?

Bien. A primera vista, nada nos garantiza que la distribución de las desviaciones alrededor de ese valor real sea simétrica. Nada impide que cierta fuente de error aleatorio tenga esta pinta:

gamma

La línea vertical representa el valor real que queremos obtener. La montaña representa la distribución de las desviaciones debidas a ese hipotética fuente de error. Abajo, hay 20 puntos grises correspondientes a 20 medidas diferentes en una misma configuración experimental. En rojo, la media de esas medidas con su error asociado. ¡Vaya! ¡Fallamos! ¿Qué estamos haciendo mal?

En la realidad, suceden dos cosas que nos vienen muy bien. Por un lado, no es común encontrar una fuente de error aleatorio que se comporte de forma asimétrica —aunque haberlas, las habrá—. Por otro lado, nunca hay una única fuente de error aleatorio, y esto es importante: el error aleatorio estará compuesto por múltiples fuentes (y de muchas no seremos ni conscientes). Y ahora, nos da igual cómo sea cada fuente de error; incluso nos da igual que haya fuentes asimétricas… Las matemáticas vienen a socorrernos en forma de lo que se denomina Teorema Central del Límite (TCL). Dicho teorema demuestra que, dadas las condiciones que estamos describiendo (múltiples fuentes de error independientes), la distribución del error aleatorio total sigue una distribución normal —una campana de Gauss de toda la vida—. ¿Y cuál es el parámetro por excelencia de dicha distribución? Exacto: la media. Veamos:

gaussiana

Otras 20 medidas bajo este nuevo supuesto y nuestra media lo clava (dentro del error, coletilla imprescindible).

Existe una frase célebre de Gabriel Lippman en una discusión con J. H. Poincaré acerca del TCL que reza así, no sin falta de sorna:

Los experimentalistas piensan que es una verdad matemática mientras los matemáticos creen que es un hecho experimental.

Ahora sabemos que es la combinación de ambos: se trata de una verdad matemática construida sobre unas condiciones que se dan de hecho en la experimentación. Sir Francis Galton, ya en 1889, le dedicó las siguientes palabras:

Conozco pocas cosas tan propensas a golpear la imaginación como esta maravillosa forma de orden cósmico expresada por [el Teorema Central del Límite]. Esta ley habría sido personificada por los griegos y deificada si la hubieran conocido. Reina con serenidad y completa humildad en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es el desorden, la aparente anarquía, más perfecto es su influjo. Es la ley suprema de la Sinrazón. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos es examinada y alineada en su orden de magnitud, una insospechada y bellísima forma de regularidad demuestra haber estado siempre ahí, latente.

#LDOnda: ¿Qué son las escalas?

(Esta anotación se publica simultáneamente en Naukas)

Las escalas en flickr

Radio Clásica ha estrenado un programa sobre ciencia y música llamado Longitud de Onda; #LDOnda en Twitter. Se emite todos los días de 13:00 a 14:00. Los viernes pasaré por sus estudios para presentar algún tema relacionado con la física o las matemáticas de la música.

Subiendo escalas

 

¿Qué son las escalas musicales?

La existencia de escalas musicales es un un fenómeno en el que rara vez reparamos (quizás porque lo damos por hecho) y sin embargo, es de lo más peculiar. Cuando uno se para a pensarlo se da cuenta de que la frecuencia del sonido, como el color de la luz, no tiene fronteras: es un todo continuo. Es posible conseguir una transición perfecta entre distintas notas (incluso inevitable en el caso del theremin) del mismo modo que se puede pintar un degradado perfecto entre dos colores: sin saltos ni cambios bruscos. Sin embargo, mientras que en pintura no nos encontramos (en general) que los cuadros estén pixelados o que utilizen sistemáticamente tintas planas (como en los dibujos animados o en el popart), en música es exactamente esto lo que pasa. En música se compone con escalas.

¿Qué es una escala entonces? Una escala consiste precisamente en una discretización del sonido, en limitar todo el espectro sonoro (continuo) a una colección de sonidos bien definidos, como si fuese una paleta de tonos inmiscibles que luego se utilizarán a lo largo de toda la pieza musical. Si nos imaginamos el sonido como una rampa, construir una escala sería algo así como ponerle peldaños (de hecho, de ahí el nombre escala, escalera).

Si bien es cierto que las escalas musicales son muy diferentes en distintas culturas, existen algunos rasgos que todas ellas comparten y que podríamos considerar universales: empezando por el propio uso de escalas. A lo largo y ancho del planeta encontramos esta discretización del sonido mediante relaciones entre tonos bien definidas.

Cuando encontramos una característica tan generalizada, tiene sentido preguntarse el porqué. Es posible que el uso de escalas se explique por la importancia de la repetición en música (como comentamos en el capítulo sobre la canción del verano). El hecho de usar un conjunto limitado de elementos sonoros, de notas, hace que estas se repitan a lo largo de las canciones, que nos familiaricemos con ellas, que les cojamos gusto… pero sobre todo: nos provee de un soporte sobre el que basar nuestras expectativas.

En este fantástico ejemplo, Bobby McFerrin se aprovecha, precisamente, de las expectativas de los oyentes. Consigue que todo un auditorio (sin preparación previa o una formación musical específica) improvise con él, gracias al conocimiento implícito sobre escalas que todos coomparten —el experimento funciona también con la escala heptatónica (ver min.59), no obstante. Esta es la clave: cuando escuchamos música, incluso la persona que no sabe qué es una clave de sol, incluso alguien que no haya leído un pentagrama en su vida sabe qué escala se está utilizando desde los primeros compases de una canción. Por eso puede identificar el error cuando un músico se equivoca de nota, como si fuese una palabra mal dicha. Se trata, de hecho, de un lenguaje musical que todos aprendemos desde muy pequeños y en paralelo a nuestro propio idioma. Y, del mismo modo que se puede hablar castellano sin ser filólogo, casi todo el mundo habla música, entiende música aunque no haya pisado un conservatorio en su vida.

Las escalas son una pieza básica dentro de este lenguaje, algo así como sus fonemas. Igual que existen muchos idiomas distintos en el mundo, también encontramos una gran variedad de escalas. Si bien en occidente, nos basamos principalmente en la escala diatónica (la de las teclas blancas de un piano), moviéndonos un poco por el mapa encontramos escalas diferentes de origen húngaro, de la India, escalas chinas, japonesas o árabes, escalas que, en muchos casos, ni siquiera se pueden interpretar con muchos de nuestros instrumentos tradicionales (como el piano, precisamente). Pero, incluso dentro de esta inmensa variedad, es posible encontrar ciertos rasgos universales. En concreto, algunas de las características más comunes de las escalas guardan una estrecha relación con los armónicos: esos sonidos cuyas frecuencias están relacionadas por números enteros y sencillos, los que resultan de poner una cuerda en vibración; los mismos sonidos que están presentes en cada tono, cada voz y cada música que escuchamos cada día, recordándonos el vínculo entre la música y la física.

En Subiendo escalas, el último capítulo de Longitud de onda, hablamos de la relación de las escalas con la física, de algunas de sus características universales y otras que las diferencian entre sí. Hablamos de cómo el descubrimiento de nuevas tradiciones musicales (y sus escalas) afectó a los compositores de finales del siglo XIX. Por último, ¡terminamos con Newton! explicando cómo la música afectó a su estudio de la luz y su descripción de los colores. ¡Espero que lo disfrutéis!

Círculo de color de Newton
Círculo de color de Newton

A hombros de… enanos

Isaac Newton dijo una vez: «Si he visto más lejos que otros, es porque estoy sentado a hombros de gigantes que vinieron antes que yo». Pero yo he leído a Isaac Newton y sus trabajos hacen que se me erice el pelo de la nuca, ¡qué conectado estaba con el universo!… Y yo me digo: esa cita no pudo haber sido honesta. Lo que realmente significaba, si pudiese reinterpretar esa frase, sería: «Si he visto más lejos que otros, es porque me alzo entre enanos». Ahí está el porqué; él podía ver más lejos que nadie.

Neil deGrasse Tyson, astrofísico y divulgador, en una más que recomendable charla presentada por Stephen Colbert.

El zoolófono, la forma de los objetos y el sonido

Este viernes no participo en LDOnda. Cosas del directo, de los puentes y de los humanos que se van de vacaciones. Para superar el síndrome de abstinencia, os propongo ver un vídeo muy curioso que me he encontrado en PopScience.

Se trata de un “zoolófono”, lo va a petar en las jugueterías  y es resultado de dos años de duro trabajo por parte de un equipo de científicos de Columbia Engineering, Harvard, MIT y Disney Research.

El sonido que produce un objeto depende en gran medida de su forma. Como os contaba hace un par de semanas en #LDOnda, los objetos unidimensionales son especialmente interesantes por su capacidad de generar sonidos altamente periódicos, sonidos cuyos parciales coinciden con la serie armónica. Esta es la forma elegante de producir tonos bien definidos: coger un objeto con una gran simetría, una forma “sencilla”, de cuyas dimensiones principales, previsiblemente, resultan esos tan deseados armónicos.

Y después está la versión hardcore.

En la versión hardcore, ya no se intenta partir de las dimensiones principales y simetrías del objeto. Se trata más bien de torturar la figura hasta conseguir resaltar, de uno en uno, los armónicos (o no armónicos) que interesen en cada caso. Y especifico o no armónicos porque, dado el nuevo enfoque, tan factible es lo uno como lo otro. Dentro del infinito mundo de las formas posibles, con modos de vibración “extraños” (no resolubles mediante análisis), alguna habrá que justo coincida con la serie armónica o con cualquier otra. Sólo necesitamos un programa capaz de simularla ¡y mandarla a la cola de impresión 3D!

Manipular el desorden hasta que vuelve a producir de forma precisa, algo tan parecido al orden…

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#LDOnda: La música de las esferas

(Esta anotación se publica simultáneamente en Naukas)

Radio Clásica ha estrenado un programa sobre ciencia y música llamado Longitud de Onda; #LDOnda en Twitter. Se emite todos los días de 13:00 a 14:00. Los viernes pasaré por sus estudios para presentar algún tema relacionado con la física o las matemáticas de la música.

La música de las esferas

 

Música, números y belleza

Consonancia y disonancia son términos musicales tan antiguos como la propia palabra armonía: provienen del mundo clásico, de Grecia, cuna de la música occidental. Armonía en griego significa “juntar una cosa con otra en un orden placentero” como sucede, de hecho, con los sonidos consonantes.

Otra palabra de origen griego es música, si bien en la antigüedad tenía un significado más amplio que el actual. La música abarcaba disciplinas muy diversas; estaba muy ligada a la poesía e implicaba cuestiones teóricas, filosóficas y éticas que hoy no solemos considerar. En concreto, la música era inseparable de los números y los números eran la clave de todo el universo espiritual y físico. La música ocupaba un lugar central dentro del pensamiento griego porque constituía un punto de encuentro entre el mundo ideal, intangible de las matemáticas y el mundo físico, perceptible de los sentidos.

Precisamente, se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de esta conexión “físico-matemática” en el siglo VI a.C. La leyenda cuenta que, al pasar delante de una herrería, Pitágoras se dio cuenta de que los martillos de distintos tamaños de los herreros producían distintos sonidos y que las relaciones entre esos sonidos estaban determinadas por las relaciones entre el peso de dichos martillos. Hoy sabemos que esta leyenda es falsa (el sonido del estos golpes no guarda relación con el peso de los martillos), pero sí parece probable que Pitágoras fuese el autor de las primeras teorías que relacionaban los sonido con (esto sí) las longitudes de la cuerdas que los producen. A partir del estudio del monocordio, Pitágoras describió los intervalos que más adelante se han seguido utilizando en música occidental y descubrió la base numérica de la consonancia y la disonancia. Según sus teorías: las cuerdas cuyas longitudes están relacionadas por números enteros y sencillos resultaban armónicas, bellas. Sin embargo, las cuerdas relacionadas por números más feos (números irracionales o números enteros con factores primos mayores que 5) resultaban disonantes. Más allá del misticismo numérico de los pitagóricos, existe un fenómeno real, la disonancia perceptiva, que probablemente inspiró estas observaciones y que encuentra su explicación en la física del sonido y la fisiología del oído.

Para Pitágoras y sus seguidores, esta era la prueba de que lo proporcionado era bello y de que lo bello, era bueno. Es una idea muy importante, la base de todo el pensamiento estético griego. Solemos asociar la búsqueda de la belleza clásica con las proporciones. Sin embargo, no suele advertise que el origen de esta idea poco tenía que ver con el Partenón o las esculturas griegas. La idea de que la belleza se basa en los números procede de la música.

Además de con la poesía, con las matemáticas y con la belleza, los griegos vinculaban la música con la astronomía. Se creía que los sonidos musicales, al estar ordenados numéricamente, ejemplificaba la armonía del cosmos y se correspondía con ella. De hecho, cosmos es otro concepto griego y significa precisamente eso: un todo ordenado y armónico. Cosmos es lo contrario del caos y es una idea que implica nuevamente belleza. De ahí viene por ejemplo la palabra cosmética. Pero claro, si el universo, el cosmos, es un todo armónico, regido por números como las cuerdas de un instrumento; ¡entonces el universo debía sonar bien! Esto es la música de las esferas: la idea de un universo ordenado, sonando en armonía… un mito de origen Pitagórico que luego fue recogido por Platón en forma poética y que más tarde sería recreado por escritores y músicos de todas las épocas.

Platón, de hecho, describió la música y la astronomía como disciplinas gemelas de aprendizaje a través de los sentidos: la astronomía para la vista y la música para el oído. Ambas requerían, además, el conocimiento proporcionado por los números. De aquí procede el quadrivium: la unión de la aritmética, la geometría, la astronomía y, como no, la música. El trivium, por su parte, agrupaba la gramática, la dialéctica y la retórica. Juntas formaban las 7 artes liberales, las disciplinas cultivadas por los hombres libres. Este sistema pasó a formar parte la educación de las élites durante la antigüedad y toda la Edad Media. La música empapó la astronomía y las matemáticas desde sus orígenes y por eso podemos encontrar tantos ejemplos de físicos o matemáticos a lo largo de la historia que, o bien se interesaron por la música a nivel teórico, o bien llegaron, incluso, a componerla.

En este capítulo de Longitud de Onda hablamos sobre algunos de esos ejemplos (como Sir William Herschel), de la teoría numérica de la música griega y de la astronomía en la historia de la música. Por último, desvelamos cuál es la música escrita más antigua conocida ¡y su relación con los números!, ¡no os lo perdáis!