Escribir del 1 al 100 con el número 2

Se trata del típico juego matemático: ¿cómo podríamos escribir todos los números del 1 al 100 utilizando únicamente el número 2 junto con las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, raíces, potencias y logaritmos)? Por ejemplo:

1=\displaystyle \frac{2}{2} \mbox{ ; } 5=2^2+\displaystyle \frac{2}{2} \mbox{ ; etc.}

Éste fue el problema que se plantearon físicos y matemáticos de la Universidad de Göttingen cuando Paul Dirac, que pasó por allí de visita, les planteó la siguiente ecuación:

N=-\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}

Donde N es el número que queremos escribir, y el número de raíces también es igual a N. Brillante solución, puesto que no sólo sirve para los números de 1 a 100, sino que sirve para cualquier número natural. Para los que no os lo acabéis de creer, vamos a desarrollarla.

N=-\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}=-\log_2 \log_2 2^{\left ( \frac{1}{2} \right ) ^N}=

=-\log_2 \left ( \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right ) ^N \log_2 2 \right )=-N \log_2 \displaystyle \frac{1}{2}=N

Como queríamos demostrar. ¿Los logaritmos están oxidados? Bah, es sencillo, ¿no? Además, esta solución nos sirve para emplear cualquier otro número en lugar del 2. Por ejemplo, con el número e

N=-\ln \ln \sqrt[e]{\sqrt[e]{\sqrt[e]{\cdots \sqrt[e]{e}}}}

Lo típico se ha convertido en typical

No estoy de acuerdo con los que opinan que somos una colonia cultural y económica de los Estados Unidos: en las colonias las tradiciones del país se entremezclan en parrandera promiscuidad con las costumbres importadas de la potencia que lo coloniza. Así, en Hong Kong se veía a chinos llevando a los turistas en palanquín al pie de los rascacielos, y en Melilla el zoco coexiste con el cuartel de la legión. Cada colonia conserva sus hábitos y si los nativos tienen lo que hay que tener los contrapone con montaraz orgullo a la cultura ajena.

En España hace tiempo que lo típico se ha convertido en typical: los nativos pueden elegir ser como los extranjeros piensan que han de ser o como los extranjeros son. Nuestras raíces son las raíces que en el extranjero se supone que debemos tener. Posiblemente esto sea un efecto secundario del turismo (hemos de ofrecer lo que el visitante pide) o un efecto primario de lo que quiera que sea eso que los hippies llaman la globalización.

No creo que seamos una colonia, sino una provincia remota de Norteamérica.

(Visto en Libro de Notas, no os perdáis el texto entero de Camilo de Ory)

Otro mundo no es posible

Paseando por Etiopica, me he encontrado este interesante artículo escrito por Einstein en 1949. El texto es inmenso y trata varios temas interesantes, por lo que no creo que sea la última vez que lo cite, pero un fragmento ha traído una idea a mi cabeza: el realismo necesario para cambiar el mundo.

Si nos preguntamos cómo la estructura de la sociedad y de la actitud cultural del hombre deben ser cambiadas para hacer la vida humana tan satisfactoria como sea posible, debemos ser constantemente conscientes del hecho de que hay ciertas condiciones que no podemos modificar. Como mencioné antes, la naturaleza biológica del hombre es, para todos los efectos prácticos, inmodificable. Además, los progresos tecnológicos y demográficos de los últimos siglos han creado condiciones que están aquí para quedarse. En poblaciones relativamente densas asentadas con bienes que son imprescindibles para su existencia continuada, una división del trabajo extrema y un aparato altamente productivo son absolutamente necesarios. Los tiempos –que, mirando hacia atrás, parecen tan idílicos– en los que individuos o grupos relativamente pequeños podían ser totalmente autosuficientes se han ido para siempre. Es sólo una leve exageración decir que la humanidad ahora constituye incluso una comunidad planetaria de producción y consumo.

Quizás tiendo a ser muy crítica con los eslóganes, pero siempre me he opuesto a aquellos que defienden que “otro mundo es posible”. A muchos os parecerá un mero formalismo, enredarse en las palabras para perder el contenido, pero las palabras, de hecho, conforman su contenido: Otro mundo posible, nos invita a olvidarnos del que ahora disfrutamos, del realismo necesario para observar sus problemas, para coger el toro por los cuernos. Nos invita a “soñar” partiendo de cero, usando una tabula rasa en la que imaginar un mundo “ideal” (ideado, idealista) y esto, no es posible.

La izquierda de hoy, más nostálgica que nunca, adolece especialmente de este “idealismo” inerte. Sueña con una revolución que no, ya no es posible, o se niega a soñar siquiera y se instala en ese pesimismo intelectual que tan de moda se ha puesto últimamente. Es la izquierda antitodo, la izquierda melancólica (aflijida por algo que nunca ocurrió) o directamente cínica (melancólica y con capacidad laboral) que se niega a avanzar, en parte, porque el otro mundo soñado no existe ni puede existir. Con lo cual la paradoja está servida: al final, la izquierda de hoy resulta ser más inmovilista y conservadora que la propia derecha.

Sinfonía No.6 “Patética” de Tchaikovsky

Piotr Illich Tchaikovsky fue un compositor ruso cuya obra se enmarca dentro del Romanticismo europeo, pese a haber sido contemporáneo del Grupo de los Cinco (máximos exponentes del nacionalismo ruso). En su época fue muy laureado, tanto en su país como en el resto del mundo. El zar Alejandro III le concedió la Gran Cruz de San Vladímir, que lo reconocía como compositor oficial, y más aún, le dio su amistad. Además, varios críticos entre ellos el compositor francés Saint-Saëns, lo declararon el más genial de los compositores rusos.

El final de su vida, sin embargo, es bastante incierto. Una teoría bastante aceptada hoy en día sugiere que alguien descubrió su homosexualidad y envió una carta al zar. Por ello, fue juzgado y condenado: debido a su popularidad y para preservar su nombre y el de Rusia, debía suicidarse.

Tras esto, compondría su Sinfonía No.6 en si menor, Patética, Op.74, la cual adquiere un nuevo significado a la vista del hecho anterior. Acerca de ella, Tchaikovsky escribió:

La quiero como no he querido nunca a ninguna de mis partituras… No exagero, toda mi alma está en esta sinfonía.

Además, esta obra contiene notas enigmáticas. En el primer movimiento escribe: «Quejas, dudas, lamentos y reproches contra xxx»; en el siguiente «… ¿Tengo acaso que echarme en brazos de la fe?». Otra indicación sugiere que se trata de una «total entrega al destino… al insondable decreto de la Providencia». Toda la sinfonía representa el final de una vida, una lucha inútil contra una muerte inexorable. Las melodías descendentes se suceden una tras otra en una decadencia paulatina, mientras el hilo conductor, ese «motivo del destino», esa apoggiatura desgarrada, va reapareciendo en cada movimiento para acercarnos un poco más a lo inevitable. La obra acaba en un decrescendo casi infinito, hasta que el último eco de sonido se extingue.

La obra se estrenó a finales de Octubre de 1893, dirigida por el propio autor. El 6 de Noviembre murió, a la edad de 53 años. El zar ruso declaró: «Tenemos muchos duques y barones, pero un solo Tchaikovsky».

La sinfonía no se encuentra completa en Youtube. Os paso los siguientes enlaces al primer movimiento, segundo movimiento, tercer movimiento y cuarto movimiento de una página china, y os dejo aquí el primer movimiento —el que más me gusta— interpretado por la Orquesta Filarmónica de Moscú.

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