Autor: Iñaki Úcar

Desbarrada en los Goya

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Ayer tuvo lugar la gala de los Premios Goya, ese acto que organiza la Academia todos los años para mirarse un ombligo lleno de pelusas que nunca se han molestado en quitar. Sólo vi un trocito. La única motivación que tenía para ello era que estaba puesto en la tele mientras yo cenaba y que salía Buenafuente, pero su guión era pésimo y él parecía poco convencido de lo que estaba haciendo, así que me apresuré en la cena y volví al ordenador. Sin embargo, en ese rato vi suficiente: entre premios e intervenciones de Andreu, se intercalaban citas célebres, y una de ellas fue la siguiente, de Luis Buñuel:

La ciencia no me interesa. Ignora el sueño, el azar, la risa, el sentimiento y la contradicción, cosas que me son preciosas.

Con dos cojones. Veo en Twitter que no he sido el único en atragantarme con la sopa. Con la Ministra de inCultura allí presente, casi es como si hablara el mismo Gobierno. Lo sueltan ahí, con letras bien grandes y voz en off, y la masa se regocija y aplaude. Si os digo la verdad, he sentido vergüenza ajena. Creo que habrían hecho bien en medir sus palabras, porque esto supone un revés intolerable en una televisión que no se prodiga precisamente en temas científicos.

Y es que estamos con lo de siempre: si lo tuyo es la ciencia, tienes que saber de todo; si lo tuyo son las artes o las letras, no tienes por qué saber hacer la o con un canuto en materia de ciencia. Lo discutíamos el otro día en clase en un tema similar, con el profesor de Organización y Dirección de Empresas, a raíz de un artículo que recogía la opinión de varios consejeros delegados sobre sus respectivos directores del departamento técnico. Al parecer todos se quejan de que estos no tienen una visión global de todas las tareas que cubre la empresa y que, puesto que cubren el resto de departamentos, deberían aprovechar para aprender lo que allí se hace. A lo que yo digo: y el resto de departamentos, ¿no debería aprender lo que se hace en el departamento técnico, ya que está cubierto por él?

Total, que al cine español no le interesa la ciencia. Tampoco le interesa el público, y lo demuestran con cada nueva película.

La religión como subproducto

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Parece que en muchas culturas, los conceptos y creencias religiosas se han convertido en la forma estándar de conceptualizar las intuiciones morales. Aunque, como discutimos en nuestro artículo, este vínculo no es necesario, mucha gente se ha acostumbrado tanto a usarlo, que las críticas contra la religión se experimentan como una amenaza fundamental a nuestro existencia moral.

El Dr. Marc Hauser, de la Universidad de Harvard, junto al Dr. Ilkka Pyysiainen, del Colegio para Estudios Avanzados de Helsinki, ha realizado un estudio cuyos resultados apoyan la teoría de que la religión «evolucionó como un subproducto separado de funciones cognitivas pre-existentes a partir de funciones no religiosas».

No es malo buscar fórmulas para «conceptualizar las intuiciones  morales». Pero, a mi modo de ver, el fallo de la religión es que queda plasmada en un libro intocable, invariable con el tiempo; y, mientras tanto, pasan miles de años y nosotros evolucionamos, cambiamos.

(Vía: Ciencia Kanija)

Problema de nitidez: la solución

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A continuación, la solución al problema propuesto ayer. De ahora en adelante, asumiremos que la bicicleta se desplaza por el eje real de izquierda a derecha (de los números negativos a los positivos o, dicho de otra manera, con velocidad positiva) y que captamos la instantánea justo a su paso por el origen. De esta forma, podemos usar el sistema de coordenadas polares con comodidad.

El problema reside en aplicar el principio de superposición de movimientos: por un lado tenemos el movimiento rectilíneo horizontal de la bicicleta, de izquierda a derecha, como hemos comentado; por otro lado, tenemos el giro de la rueda. Esto se denomina movimiento rototraslatorio.

Obviamente, habrá puntos —como se puede intuir a partir de la imagen— en los que la velocidad de rotación se cancelará con la velocidad de traslación y, por ende, saldrán en nuestra fotografía. Para resolverlo, habrá que descomponer la velocidad de rotación de todos los puntos de la rueda en sus componentes vertical y horizontal. Tras esto, a la componente horizontal hay que sumarle la velocidad de traslación y volver a componer el módulo del vector velocidad mediante Pitágoras.

En primer lugar, si la rueda es de radio R, tenemos que la velocidad angular vale 22/R (que no se asusten los físicos: vamos a meter todos los valores en kilómetros y en horas para no andar haciendo conversiones). La velocidad de rotación en cada punto de la rueda va a ser de 22r/R, con r\le R.

Para hallar las componentes vertical y horizontal de dicha velocidad, es fácil ver que basta con multiplicar por el -\cos\theta y el \sin\theta respectivamente. A continuación, le sumamos la velocidad de la bicicleta a la componente horizontal y volvemos a hallar el módulo de la velocidad total sumando los cuadrados de las componentes y hallando la raíz cuadrada. Por último, exigimos que este módulo sea menor o igual a 11, la velocidad máxima a la que la fotografía sale nítida. Es decir:

\sqrt{\left(\dfrac{22r}{R}\sin\theta+22\right)^2+\left(-\dfrac{22r}{R}\cos\theta\right)^2}\le11\qquad r\le R

Si manipulamos esta expresión convenientemente, podemos llegar a lo siguiente:

r^2-2rR\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)+R^2\le\left(\dfrac{R}{2}\right)^2

Que no es otra cosa que la expresión, en coordenadas polares, de un círculo con centro en (R,-\pi/2) y radio R/2. Por último, si representamos la expresión de arriba, obtenemos el área coloreada de verde —el esperado círculo— que podemos ver en la imagen inferior.

¿Cuántas series dodecafónicas diferentes hay?

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El dodecafonismo es una técnica compositiva ideada por Arnold Schönberg a principios del siglo XX como una evolución natural de la música tonal, o al menos lógica. El Romanticismo y el Postromanticismo alemán, de la mano de compositores como Wagner y Mahler, habían llevado el sistema tonal hasta sus últimas consecuencias añadiendo cada vez más tensiones, más disonancias. De entre las corrientes que surgieron a finales del siglo XIX y principios del XX que reaccionaban contra todo lo anterior (contra la música tonal, por tanto), aparece la música atonal enmarcada dentro de la corriente estética del Expresionismo. El sistema atonal pretende ser lo contrario del sistema tonal: ningún sonido es más importante que otro y además no pueden combinarse de ninguna manera que recuerde a la tonalidad. Schönberg hablaba de «la democracia de los sonidos». Y el dodecafonismo surge como una técnica, una metodología, para hacer música atonal.

Para componer una obra dodecafónica, el primer paso es escoger una serie con la que trabajar. Una serie dodecafónica es una ordenación de los doce sonidos del sistema temperado (Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si) sin repeticiones; es decir, una permutación de estas doce notas. En los libros de teoría musical suele decirse que las series constituyen un material casi inagotable, puesto que pueden formarse unas 500 millones. Está clara la cuenta que han hecho: permutaciones de 12 elementos, 12! = 479 001 600 series. Sin embargo, las reglas del dodecafonismo (mucho más estrictas que las «ataduras» del sistema tonal de las que se pretendía huir) nos reducen bastante la cantidad final disponible. Concretamente, para el que tenga prisa por saber la solución (el resto que siga leyendo), el material total asciende a:

\dfrac{11!+2\times5!+6\displaystyle\prod_{k=1}^52k}{4}=9\,985\,020\mbox{ series}

Siguen siendo un buen puñado, pero desde luego ya no parecen «inacabables», y más teniendo en cuenta que se evitaban las progresiones que sonasen «tonales» (como Do-Mi-Sol, por ejemplo), así que de esos 10 millones realmente habría que quitar muchas más.

¿Cómo hemos sacado la cuenta? Antes que nada, para aclararnos mejor a partir de ahora, vamos a identificar cada nota con un número (o con una letra cuando se nos acaben los números), a saber: 0123456789AB. En primer lugar, hay que conocer un par de reglas fundamentales:

  1. Los once transportes posibles de una serie se consideran el mismo material. Transportar una serie consiste en sumarle a todas las notas un número de semitonos constante. Por ejemplo, {0123456789AB} + 1 = {123456789AB0} (perdonadme por esta notación improvisada). Es de recibo, por tanto, dividir entre doce esos casi 500 millones iniciales.
  2. Cada serie tiene 3 derivadas que se consideran el mismo material: la inversión, la retrogradación, y la retrogradación de la inversión. I, R y RI respectivamente a partir de ahora. La I consiste en invertir el sentido de la serie (para {0123456789AB}, I = {0BA987654321}); la R consiste en leerla de atrás hacia adelante (para {0123456789AB}, R = {BA9876543210}); y la RI consiste en realizar ambas cosas (para {0123456789AB}, RI = {123456789AB0}).

Resumiendo, cuando un compositor elige su material para comenzar a componer una obra dodecafónica, escoge una serie. Y esta serie le proporciona un material compuesto de 48 series que se consideran la misma y que puede utilizar a su antojo: la original, la I, la R, la RI y los transportes de todas ellas. Parece lógico, entonces, dividir entre cuatro la cantidad que nos había quedado de eliminar los transportes (al dividir entre doce en el primer punto). Sin embargo, aquí surge una dificultad: hay ciertas series con características muy peculiares que únicamente tienen una derivada (más los transportes, eso siempre). Me refiero a las series con simetría par y las series con simetría impar.

  • En las series con simetría par (como ejemplo, una famosa de Webern: {967845BA2103}), la R coincide con la original (transportada),  y la RI coincide con la I. Por lo tanto, únicamente tenemos dos en lugar de cuatro: O (original) e I.
  • En las series con simetría impar (como ejemplo, la de antes: {0123456789AB}), la RI coincide con la O, y la R con la I. Por lo tanto, también tenemos dos: O e I.

La dificultad de este problema, radica en contar el número de series con simetría que existen: estas habrá que dividirlas entre dos y el resto entre cuatro. Para esta tarea, vamos a considerar que hemos eliminado todos los transportes dividiendo esos 500 millones entre 12. Daos cuenta de que esto es equivalente a fijar la primera nota a (por ejemplo) {0} y escoger las otras 11.

Series con simetría par

El tritono (diferencia de 6 en nuestro sistema de números) es el único intervalo que al invertirlo se queda igual. Si invertimos {06} nos queda {06} (sumar o restar 6 a {0} nos da siempre {6}). Por lo tanto, una serie tendrá simetría par si y sólo si cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) tienen una diferencia de 6. En la escala existen 6 tritonos: {06}, {17}, {28}, {39}, {4A} y {5B}. Así pues, se trata de permutaciones de 5 elementos (recordad que hemos fijado la primera nota a {0}, y por tanto, la última a {6}) y además cada uno de ellos tiene dos posiciones ({17} ó {71}, por ejemplo). Por ello, el número de series con simetría par (sin contar los transportes) es de 2\times5!.

Series con simetría impar

Estas son más complejas. Vamos a ir poniendo notas en la serie de fuera hacia dentro. Tenemos la primera, {0}, y en principio 11 posibilidades para la última. Existen dos casos: que la diferencia entre la primera y última nota sea par o que sea impar. Si la diferencia es par, a la hora de colocar la segunda nota y la penúltima tenemos un problemón: tenemos vetadas dos notas. ¿Por qué? Imaginemos que escogemos {0} y {8} como primera y última nota. Si queremos poner {4} como segunda nota ({0} + 4 = {4}) nos obliga a que la penúltima nota sea {8} — 4 = {4} (!!). Imposible: no se pueden repetir notas. Lo mismo sucede en este ejemplo con la nota {A}. Bien, no hay problema, escogemos otra nota que no sea {4} ni {A}. ¿Qué ocurre entonces? Que pongamos la que pongamos como segunda, nos va a dar una diferencia con la penúltima que va a ser par, luego, a la hora de colocar la tercera nota, nos encontramos con el mismo problema que antes. Si seguimos con el razonamiento, vamos a llegar a la elección de las dos últimas notas y volveremos a tener dos notas vetadas, ¡pero ya no quedan otras!

Conclusión: una serie podrá tener simetría impar si y sólo si la diferencia entre cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) es impar. Y es fácil ver que una característica necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que la diferencia entre las notas de los extremos sea impar. Volviendo a nuestro planteamiento, si la primera nota es {0}, la última sólo puede ser {1}, {3}, {5}, {7}, {9} ó {B}. 6 opciones. Con dos fijadas, para la segunda nota tenemos 10 posibilidades y, a su vez, fijar esta nota determina la penúltima. Con cuatro fijadas, para la tercera nota tenemos 8 posibilidades… etc. El número total de series con simetría impar (sin contar los transportes) es de 6\times10\times8\times6\times4\times2.

Y para terminar y hallar esas casi 10 millones de series, realizamos el siguiente cálculo:

\dfrac{11!-2\times5!-6\times10\times8\times6\times4\times2}{4}+\dfrac{2\times5!+6\times10\times8\times6\times4\times2}{2}=\\\dfrac{11!+2\times5!+6\displaystyle\prod_{k=1}^52k}{4}=9\,985\,020\mbox{ series}

Gracias a Tito Eliatron por su ayuda y su paciencia, y enhorabuena al que haya llegado hasta el final de este ladrillo.