Categoría: Ciencia

Se trata de una demostración sencilla y elegante ideada por Einstein con tan sólo 11 años. Lo vio Pseudópodo en el libro Fractals, Chaos, Power Laws, de Manfred Schroeder, y lo explica de manera magnífica en su blog, así que no cambiaré ni una coma:

Esta es la demostración más sencilla y elegante que existe (y que puede existir, creo yo) del Teorema de Pitágoras.

En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área S_a; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será S_b. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área S_c.

Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:

S_a = k·a²
S_b = k·b²
S_c = k·c²

donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).

Además, es obvio que

S_c = S_a + S_b

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,

c² = a² + b²

Limpio, claro e indoloro. ;-)

La palabra considerar proviene del latín. Está compuesta por «con-» prefijo que significa «junto» y «sidera», raíz latina que servía para designar los astros. Por ello el significado original de la palabra podría ser «mirar juntos las estrellas» o más probablemente, «mirar junto con las estrellas»: ver algo en su escala adecuada. Algo que pueda parecernos muy grande o importante, visto junto a las estrellas, comparado con ellas, adquiere su proporción adecuada. Otra acepción posible es que, al mirar fijamente las estrellas, con los laterales del ojo somos capaces de ver luces que antes no nos resultaban perceptibles.

Una de las mejores anécdotas de las clases de Lengua de la Señorita Chari. Es curioso hasta qué punto se valoraba la astronomía en la Antigüedad que incluso «considerar», una actividad tan básica del intelecto está relacionada con las estrellas.

Recordemos el problema:

Disponemos de 12 monedas y una balanza. Sabemos que una de las monedas es defectuosa, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la moneda defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?

Y recordemos también que habíamos obtenido que la manera óptima de resolverlo es tratando de comparar siempre un tercio con un tercio de las monedas.

Me consta que alguno que otro se ha estado rompiendo la cabeza con el problemilla de marras. La verdad es que tiene su miga, y no es para nada obvio. Recomiendo coger un lápiz y un papel para seguir el proceso.

La solución

En la primera pesada, lógicamente, compararemos cuatro y cuatro monedas, dejando otras cuatro fuera. De aquí se desprenden dos posibles situaciones: que la balanza se quede equilibrada, o que se desequilibre (me da igual hacia qué lado, puesto que las monedas son todavía anónimas para mí).

1.- Equilibrio. La moneda defectuosa está entre las cuatro apartadas. Las llamaremos 1, 2, 3 y 4. Nos quedan dos pesadas para averiguar cuál de ellas es. Como no se puede hacer un tercio de cuatro, ni nada que se aproxime lo suficiente, vamos a aumentar el número de monedas hasta seis añadiendo dos buenas (de las ocho descartadas en la primera pesada). Éstas las denotaremos por B.

Así sí podemos dividirlas en tres partes, pero hay que tener cuidado, porque las dos monedas buenas, si están juntas, no nos aportan ninguna información, así que las dividiremos en 1-2, 3-B y 4-B. En la balanza, comparamos 1-2 con 3-B. Tenemos tres casos:

1. Equilibrio: significa que la moneda 4 es la defectuosa. Tenemos otra pesada más en la que compararemos 4 con B para determinar si pesa más o menos.
2. 1-2 pesa más que 3-B: significa que, o bien 3 es la defectuosa y pesa menos, o bien 1 ó 2 es la defectuosa y pesa más. Compararemos 1 con 2 para verificar si una de las dos pesa más. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 3.
3. 1-2 pesa menos que 3-B: mismo caso que el anterior, pero con los papeles cambiados. Compararemos 1 con 2 para verificar si una de ellas pesa menos. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 3 y pesa más.

2.- Desequilibrio. Tenemos ocho monedas candidatas a las que denotaremos de la siguiente manera: 1^–, 2^–, 3^– y 4^– serán las monedas candidatas a pesar menos (las que hayan quedado en el plato más alto); 5⁺, 6⁺, 7⁺ y 8⁺ serán las monedas candidatas a pesar más (las que hayan quedado en el plato más bajo). Misma operación que antes y por la misma razón. Ocho no es divisible por tres, así que añadimos una moneda buena B de las cuatro ya descartadas y así tenemos nueve.

Las dividimos en tres partes, como antes, pero aquí viene lo interesante. Sabemos algo muy importante de cada moneda, y es ese más o ese menos que acompaña a cada una y que las convierte automáticamente en candidatas a pesar más o a pesar menos respectivamente. Por lo tanto, podemos mezclarlas un poquito, para obtener más información. Así que los grupos serán los siguientes: 1^–-5⁺-B, 2^–-3^–-7⁺ y 4^–-6⁺-8⁺. Comparamos 1^–-5⁺-B con 2^–-3^–-7⁺. Tenemos tres casos:

1. Equilibrio: significa que la defectuosa se encuentra en 4^–-6⁺-8⁺. Con otra pesada, comparamos 6⁺ y 8⁺. Si quedan en equilibrio, la culpable es la 4 y pesa menos; si no, la que quede en el plato más bajo es la defectuosa y pesa más.
2. 1^–-5⁺-B pesa más que 2^–-3^–-7⁺: significa que, o bien la 5 es la defectuosa y pesa más, o bien 2 ó 3 es la defectuosa y pesa menos. Compararemos 2 con 3 para verificar si una de las dos pesa menos. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 5.
3. 1^–-5⁺-B pesa menos que 2^–-3^–-7⁺: significa que, o bien la 7 pesa más, o bien la 1 pesa menos. Compararemos cualquiera de ellas con una moneda buena.

Ahí lo tenéis. Tres pesadas, y siempre un tercio con un tercio. Como curiosidad, podéis repetir el mismo problema con el mismo método, pero con 13 monedas en lugar de con 12. Veréis que podéis averiguar siempre qué moneda es la defectuosa, pero habrá un caso en el que no sabréis si pesa más o pesa menos.