Música y matemáticas. Física de la consonancia (1)

En entradas previas de Música y matemáticas, hablábamos de la base matemática de la consonancia musical, en contraposición a la disonancia. Pero para entender el porqué oculto tras esos números, me parece necesario vislumbrar qué ocurre a nivel físico para luego intentar darle una interpretación fisiológica al fenómeno de la consonancia. Por ello, esta entrada y la próxima tocarán conceptos algo más complejos, más ingenieriles también; intentaré hacerlos accesibles y que no se me vayan de las manos, aunque no prometo nada. Hablaré de lo que sucede en el aire, de cómo vibra este, de la evolución del sonido en el tiempo. También veremos qué sucede en el ámbito más abstracto de la frecuencia, y esto nos llevará inevitablemente a hablar de cómo funciona nuestro sistema auditivo.

Antes de empezar, debe quedar claro que los conceptos de consonancia y disonancia entrañan cierta subjetividad, puesto que han ido evolucionando con la música a lo largo de los siglos. Y digo cierta porque imperativamente subyace una base física ineludible en dichos fenómenos.

Consonancias de tonos puros en el tiempo

Esta parte será la más amena y más gráfica, accesible para todos los públicos. Vamos a ver qué evolución siguen las ondas sonoras en el tiempo, la vibración que experimentan las moléculas del aire; en concreto, vamos a visualizar qué ocurre cuando mezclamos dos sonidos. Para ello, haré simples sumas de cosenos y os enseñaré la gráfica resultante (si a alguien le preocupase la fase de estos cosenos, estaría encantado de demostrarle que ésta no influye significativamente en el resultado de la suma).

Empezaremos con algo facilito, la consonancia más simple: la 8ª. Dos tonos puros, el segundo con frecuencia doble que el primero (por ejemplo, do y el do inmediatamente superior), ¿qué aspecto tendrían? El siguiente:

octava

Como podemos observar, tenemos una onda muy suave, que no cambia bruscamente, y muy predecible. En una primera aproximación, podríamos afirmar que un sonido resulta agradable, resulta consonante, cuando tiene una forma de onda suave, lo más próxima posible a un tono puro, a una sinusoide. ¿Qué ocurrirá con la 5ª? Recordemos, relación frecuencial de 3/2:

quinta

Efectivamente, con esta consonancia seguimos teniendo una onda suave, luego parece que la cosa funciona. Vamos con la 3ª Mayor, relación frecuencial de 5/4:

terceraM

Comienza a complicarse y vemos que aparece una cierta envolvente (contorno de los máximos y mínimos, perfil ondulado en el que puede enmarcarse la gráfica), aunque sigue siendo una onda suave. Si seguimos reduciendo el intervalo, vemos que lo que ocurre es que esta envolvente se va haciendo cada vez más pronunciada. Vamos con una 2ª Mayor, una disonancia, relación frecuencial de 9/8:

segundaM

Ahí tenemos claramente la envolvente. Parece ser que esta modulación que aparece en los máximos, esta pequeña montaña rusa, incomoda a nuestro oído aunque la onda siga siendo bastante suave. En el extremo de la disonancia, es decir, el par de sonidos más desagradables que percibimos se dan cuando tenemos dos sonidos iguales pero ligeramente desafinados. Por ejemplo, un la a 440 Hz y otro la a 442 Hz. Tienen esta pinta:

la440la442

¿Cómo? ¿Una sinusoide? ¿Se acaba de desmontar toda nuestra teoría? No, amiguitos. Estamos viendo un zoom demasiado grande. Hagamos zoom out:

lazoom

Ahora sí estamos viendo lo que nos interesa. La envolvente se ha hecho tan enorme que se ha convertido en un zumbido insoportable para nuestro oído. De ahí la disonancia horrible de dos instrumentos desafinados.

Consonancias con sonidos reales

Lo anterior está desarrollado con sumas de parejas de tonos puros, pero, obviamente, los sonidos reales son más complejos: tienen armónicos (y demás historias que algún día os contaré). Vamos pues con un ejemplo con sonidos más ajustados a la realidad. ¿Qué pinta tiene más o menos un sonido real? En el siguiente gráfico tenemos un solo sonido considerando sus componentes hasta el quinto armónico (receta propia, si se correspondiera con algún instrumento real, sería pura casualidad):

sonido-real

Ahora sumaré este sonido real (o casi) con su 5ª, pero la quinta también estará considerada hasta el quinto armónico. Es decir, veremos la consonancia de 5ª entre dos sonidos (casi) reales:

quinta-real

La gráfica es bastante más compleja que antes, es más brusca, menos suave, pero la envolvente es estable, igual que en la 5ª con tonos puros.

La conclusión que sacamos es que la envolvente de la onda tiene mucho que ver con lo agradable o desagradable que nos resulta un intervalo. Apreciamos que los intervalos que consideramos consonantes tienen una envolvente muy estable, en cambio, en las disonancias aparecen modulaciones muy fuertes de la amplitud de la onda, la envolvente se dilata cada vez más en el tiempo haciéndose más perceptible conforme más disonante resulta un intervalo.

Para otro día dejamos el análisis desde el punto de vista de la frecuencia, el cual será no menos interesante, aunque sí más abstracto.

6 comentarios sobre “Música y matemáticas. Física de la consonancia (1)

  1. Enhorabuena por vuestra serie sobre la física musical!
    Estoy deseando de que publiquéis nuevos capítulos. Mientras tanto os envío unas sugerencias:
    1. Referencia al estupendo libro gratuito de David Benson “Mathematics and music. A musical offering”
    2. Ya puestos, no vendría mal un enlace a ‘cómo suena’ cada gráfica. Con matlab es muy fácil de hacer.
    3. Los sistemas de afinación por quintas o de límite-2 se entienden mejor dibujando el círculo de quintas, que equivale a representar cada frecuencia f como un ángulo ang = 360*log_2(f/f0).

    Un saludo y continuad así.

  2. @ Zarlino: Te gustará la siguiente entrada, creo: He elaborado una representación de la escala cromática mediante una espiral logarítmica, a ver qué te parece. En cuanto a lo de los audios, tienes razón. Sobre todo serán útiles a la hora de diferenciar distintos sistemas de afinación. A ver si se puede hacer…

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